例说念平面几何中的援救线添加

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解证几何问题时，时常需要在图中另外添加一些线，时常称为援救线.在图中一般画为虚线.常见的援救线主要为直线、线段、射线、圆或圆弧等.以下选题来自《初中数学竞赛中的平面几何》

为什么要添加援救线呢？

解几何题是从题设条款开赴，期骗正确的逻辑推理，获得题断的遵守.咱们遭遇的几何题并非沿途要添线，有些则需要添线.为什么有的几何题一定要添线呢？咱们从以下两个具体的例题说念起。

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解法分析：率先字据题意画出相应的图形：

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要阐述注解AE=AG，只需要阐述注解∠G=∠3，问题的重要在于如何由AB=CD等题设来证得∠G=∠3。由于AB，CD的位置散布，它们与∠G和∠3的斟酌不易获胜不雅察到。因此，必须设法添加援救线使得相对散布的景象变得相对围聚，使它们之间的斟酌由荫藏变为较着。

为此，需要构造与∠G和∠3相等的等角。荟萃BD后，取BD的中点O，荟萃OE、OF。通过构造中位线，将AB=CD挪动到了OE=OF，这么将∠G挪动到了∠1，∠3挪动到了∠2，使总共斟酌联的元素齐围聚到了△OEF中。因此，只需要阐述注解∠1=∠2，就不错搞定问题。

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解法分析：由已知中AB=AC=AD=a，可知B、C、D在以A为圆心，a为半径的圆上，因此需要作念出这个“隐圆”。这么就翻开了想路，使得隐含在题中的关系得以表示。

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因此，延伸BA交圆A于点E，荟萃DE。易证∠EDB=90°，由CD//AB，可得DE=BC=b，因此借助勾股定理不错缱绻BD的长度：

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通过上述两个例子不错标明，解证几何问题，即是由已知开赴，用逻辑推理搭建已知和未知的桥梁。因此，关于具体问题具体分析，当条款和论断之间莫得明确的指向性时，咱们需要生机添加援救线，创造挪动的条款，从而将已知和未知中的斟酌元素有机地串联起来，从而灵验地搞定问题。

添加援救线有以下三个作用：① 使复杂的问题挪动为咱们所熟习或早已掌合手、搞定的问题，比如在“阐述注解中位线定理”时，咱们不错添加援救线，将问题挪动“借助三角形中位线定理进行阐述注解”；② 使图中隐含的关系露馅出来(例2)；③ 使不获胜斟酌的元素发生斟酌。

关于援救线的添加不是所心所欲的，当遭遇某些条款弗成获胜与论断发生斟酌时，为发掘、创设这些条款斟酌的阶梯而射线和决定在图中添加什么援救线，如何添加援救线。这才是正确清醒添加援救线的关节和精髓。

添线的原则

原则一 化繁为简

添加援救线有助于：① 把复杂的图形化为毛糙的图形；② 把复杂的图形分割成多少个毛糙的问题；③ 把不限定的图形挪动为限定的图形。

不管添线若何复杂，仔细分析，齐是为了把某方面的“繁”化为“简”，从而以“简”来独霸“繁”。

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解法分析：由于∠BCA=20°，∠EDC=80°，是以CE=CD。获胜缱绻两个三角形的面积很艰辛，要遭遇求特殊角的锐角三角比。

但防备到∠ABC=60°这个条款，把△ABC归附为一个边长为1得正三角形。为此，延伸BA到G，使BG=BC=1，如下图所示，荟萃CF，则易知△ABC≌△FGC，且AC=CF，∠ACF=20°。

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于是△ACF∽△ECD，又CA=2CE，是以：

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此题添线后从标明看使图形变得复杂了，但施行上则使用不限定图形挪动为限定的正三角形，达到化繁为简的指标。同期也使咱们捕捉到了解答本题的阶梯。

原则二 相对围聚

添设援救线接续将已知和未知中的斟酌元素围聚在合并个三角形中或围聚到两个斟酌(全等、双方对应相等、同样)的三角形中。惟一元素相对围聚，才便于斟酌与相比，从能充分应用斟酌的几何定理。

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解法分析：要证BD+CE>DE。需要设法把三条线段围聚到合并个三角形中，为此，由M是BC的中点，DM⊥EM，使咱们空猜度不妨用轴对称“翻折”的关节。如图所示，在DM的延伸线上取D'，使MD'=MD。荟萃ED'，CD'，易证ED'=DE，CD'=BD(△BDM≌△CD'M)。最终把BD，DE，CE三条线段挪动为CD'，ED'，CE，围聚到△CED'中，从而利用“双方之和大于第三边”得证。

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添线的技巧

添加援救线，从全体上看，不错清醒为把图形的一部分变换到另外的位置，以此来完结条款和论断的斟酌。这些变换好多，常用的是平移和旋转，它不变调线段的长度与角的大小。关节一 平移

接续通过特殊点添平行线，或利用三角形中位线性质构造平行线，使图中的某些线段保持平行，或使某些角平移到新的位置。

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解法分析：本题同例1的解题政策如出一辙。即通过线段的平移将∠1和∠2放手在一个三角形中。

如左图，通过“四次”平移，构造平行线四边形ABMF和平行四边形DFNC，继而构造全等△BME和△ENC，从而阐述注解E为MN的中点，利用等腰三角形的三线合一阐述注解∠3=∠4。利用MF//AB，CD//FN，得∠1=∠3，∠2=∠4，继而得证。

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如右图，借助三角形的中位线定理，通过荟萃BD，构造AB和CD的一半，得等腰△GEF，从而得证。

关节二 旋转

在具有等边和特殊角的图形中，将图形一部分绕定点旋转一特殊角，时常使散布的条款相对围聚，自大出多少新的斟酌。

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解法分析：本题中要阐述注解∠AMB=∠DMC，由于∠AMB和∠2互余，而∠1=∠2，同期AB=AC，因此生机构造与△ABM全等的△ACN，相当于将△ABM平移加旋转得△ACN。再阐述注解△DMC和△DCN全等即可得证。

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疏导的搞定旅途在2023上海长宁二模25题第(3)问中也有体现：

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解法分析：本题中要阐述注解A、P、C三点共线，不错通过阐述注解∠APB+∠BPC=180°进行阐述注解。由于AP、BP、CP三条线段的位置相比散布，因此不错通过旋转△ABP(绕点B顺时针旋转90°)至△BCP'，借助勾股定理逆定理得∠PCP'=90°，从而字据∠PCP'+∠PBP'=90°，得P、B、P'、C四点共圆，继而得∠BPC与∠BP'C互补，而∠BP'C=∠APB，继而得证。

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常见同样模子中的“手拉手模子”以及“半角模子”即是利用旋转获得同样三角形或全等三角形完结线段的挪动。

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